Inhalte des Arbeitsblatts
Übersicht aller Aufgaben und Lesetexte aus diesem Materialpaket.
Infoblatt / Fachtext
1. Was sind lineare Funktionen?
Lineare Funktionen begegnen dir überall im Alltag, oft ohne dass du es merkst! Sie beschreiben geradlinige Zusammenhänge, zum Beispiel den Preis von Äpfeln nach Gewicht, eine konstante Geschwindigkeit oder das Abbrennen einer Kerze. Mathematisch gesehen ist eine lineare Funktion eine Funktion, deren Graph eine **Gerade** ist. Sie zeigt also eine gleichmäßige Veränderung.
2. Die Funktionsgleichung: y = m*x + b
Jede lineare Funktion kann durch die allgemeine Gleichung **f(x) = m*x + b** (oder auch y = m*x + b) beschrieben werden. Die beiden Buchstaben **m** und **b** sind dabei die entscheidenden Parameter, die das Aussehen und die Lage der Geraden im Koordinatensystem bestimmen. * Die Steigung m**: Sie gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt. * Ist **m > 0**, steigt die Gerade (von links nach rechts betrachtet). * Ist **m < 0**, fällt die Gerade. * Ist **m = 0.5**, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Man kann die Steigung mit einem **Steigungsdreieck** ermitteln:** Man geht von einem Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts (Δx) und schaut dann, wie viele Einheiten man nach oben oder unten gehen muss (Δy), um wieder auf der Geraden zu landen. Es gilt: **m = frac{Δy}{Δx}**. * Der y-Achsenabschnitt b**: Er gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. Der Punkt lautet immer P(0|b). Im abgebildeten Diagramm hat die Funktion die Steigung **m = 0.5** und schneidet die y-Achse bei **b = 1.5**. Die Funktionsgleichung lautet also: **f(x) = 0.5*x + 1.5**.
3. Wichtige Berechnungen
*Nullstelle berechnen** Die Nullstelle ist der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle ist der y-Wert immer 0. Um die Nullstelle zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null und löst nach x auf. **Beispiel:** f(x) = 2*x - 4 1. Ansatz: f(x) = 0 => 2*x - 4 = 0 2. Umstellen: 2*x = 4 3. Auflösen: x = 2 Die Nullstelle liegt bei x = 2. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist N(2|0). *Punktprobe durchführen** Mit der Punktprobe kannst du überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzt du die x- und y-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. **Beispiel:** Liegt der Punkt P(3|2) auf der Geraden f(x) = 2*x - 4? 1. Koordinaten einsetzen: 2 = 2 * 3 - 4 2. Ausrechnen: 2 = 6 - 4 => 2 = 2 Die Aussage ist wahr, also liegt der Punkt P auf der Geraden.
4. Schlüsselbegriffe im Überblick
| Begriff | Erklärung | |---|---| | **Lineare Funktion** | Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m*x + b, deren Graph eine Gerade ist. | | **Steigung (m)** | Gibt das Steigungsmaß der Geraden an (Anstieg/Fall pro x-Einheit). | | **y-Achsenabschnitt (b)** | Der y-Wert des Punktes, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. | | **Nullstelle** | Die x-Stelle, an der die Funktion den Wert 0 hat (Schnittpunkt mit der x-Achse). | | **Funktionsgraph** | Die visuelle Darstellung aller Punkte (x|y), die die Funktionsgleichung erfüllen. |
5. Das musst du wissen!
* Eine lineare Funktion hat immer die Form **f(x) = m*x + b**. * m** ist die Steigung und **b** ist der y-Achsenabschnitt. * Ein positives **m** bedeutet, die Gerade steigt; ein negatives **m** bedeutet, sie fällt. * Den y-Achsenabschnitt **b** kannst du direkt am Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen. * Um die Nullstelle zu finden, setzt du die Funktion gleich Null: **f(x) = 0**.
Aufgabenstellung (6 Aufgaben)
- Ordne jedem Begriff der linearen Funktionen seine korrekte Beschreibung zu.
- Steigung (m)
- y-Achsenabschnitt (b)
- Nullstelle
- Bei der Funktion f(x) = -3*x + 5 ist die Steigung m = ___ und der y-Achsenabschnitt b = ___.
- Bestimme aus der Abbildung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und berechne anschließend die Nullstelle der Funktion.
Betrachte die im Koordinatensystem abgebildete Gerade.
- Die Gerade zur Funktion g(x) = frac{1}{2}*x - 2 fällt von links nach rechts.
- Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe h der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) beschreibt. Berechne, nach wie vielen Stunden die Kerze vollständig heruntergebrannt ist.
Eine neue Kerze ist 25 cm hoch. Pro Stunde brennt sie gleichmäßig um 2.5 cm herunter.
- Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden in der Form y = m*x + b. Zeige deinen vollständigen Rechenweg.
Eine Gerade verläuft durch die beiden Punkte P_1(1|2) und P_2(5|10).